CEPERO RODRIGUEZ RICARDO JAVIER.
ING. COMPUTACION.
MATERIA: LOGICA Y CONJUNTOS.
MAESTRO: ISRAEL FRANCO GARCIA.
TRABAJO FINAL DE LOGICA Y CONJUNTOS.
miércoles, 10 de diciembre de 2008
domingo, 7 de diciembre de 2008
Silogismos.
Designamos bajo el nombre de silogismo categórico, la combinación de tres proposiciones categóricas, dispuestas en dos premisas y una conclusión.
Consideremos el silogismo.
• Todos los cocodrilos son anfibios
• Todos los anfibios son animales que viven en la tierra o en el agua.
• Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua.
Designaciones y convenciones.
• Las proposiciones 1) y 2) se denominan premisas.
• La proposición 3) se denomina conclusión.
• El término - predicado de la conclusión, ?animales que viven en la tierra o en el agua? se denomina el término mayor del silogismo .
• La premisa donde figura el término mayor, se denomina premisa - mayor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 2).
• El término - sujeto de la conclusión, ?cocodrilo?, se denomina término menor del silogismo .
• La premisa donde figura el término menor, se denomina premisa menor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 1).
• El término ?anfibio? que no figura en la conclusión pero que aparece en cada premisa se denomina término medio , pues su función es servir de nexo entre el término mayor y el menor.
La descripción anterior la podemos resumir esquemáticamente así:
Premisa menor. Todo C es A
Premisa mayor. Todo A es T
Conclusión Todo C es T.
Tenemos en consecuencia que T corresponde al término mayor; C corresponde al término menor y A corresponde al término medio. Usualmente se escribe primero la premisa mayor y a continuación la premisa menor, designando esta distribución como la forma estándar del silogismo . Con base en esta forma el ejemplo anterior lo representamos así:
Premisa mayor. Todo A es T
Premisa menor. Todo C es A
Conclusión Todo C es T.
La localización del término medio en las premisas es llamado la figura del silogismo . Puesto que hay dos premisas y dos posibles posiciones en cada premisa.
Consideremos el silogismo.
• Todos los cocodrilos son anfibios
• Todos los anfibios son animales que viven en la tierra o en el agua.
• Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua.
Designaciones y convenciones.
• Las proposiciones 1) y 2) se denominan premisas.
• La proposición 3) se denomina conclusión.
• El término - predicado de la conclusión, ?animales que viven en la tierra o en el agua? se denomina el término mayor del silogismo .
• La premisa donde figura el término mayor, se denomina premisa - mayor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 2).
• El término - sujeto de la conclusión, ?cocodrilo?, se denomina término menor del silogismo .
• La premisa donde figura el término menor, se denomina premisa menor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 1).
• El término ?anfibio? que no figura en la conclusión pero que aparece en cada premisa se denomina término medio , pues su función es servir de nexo entre el término mayor y el menor.
La descripción anterior la podemos resumir esquemáticamente así:
Premisa menor. Todo C es A
Premisa mayor. Todo A es T
Conclusión Todo C es T.
Tenemos en consecuencia que T corresponde al término mayor; C corresponde al término menor y A corresponde al término medio. Usualmente se escribe primero la premisa mayor y a continuación la premisa menor, designando esta distribución como la forma estándar del silogismo . Con base en esta forma el ejemplo anterior lo representamos así:
Premisa mayor. Todo A es T
Premisa menor. Todo C es A
Conclusión Todo C es T.
La localización del término medio en las premisas es llamado la figura del silogismo . Puesto que hay dos premisas y dos posibles posiciones en cada premisa.
Cuadro Tradicional de oposición.
La distinción entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distinción (u oposición) de cualidad , en tanto que la distinción entre universales y existenciales se denomina distinción (u oposición) de cantidad .El diagrama representa la oposición de proposiciones de las cuatro formas. Dos proposiciones que tienen términos idénticos se dice que son opuestas entre sí, si difieren en cantidad, o en calidad, o en cantidad y calidad a la vez.
A y E son contrarias, y las proposiciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en la cualidad. I y O son subcontrarias, son proposiciones existenciales que difieren en cualidad. A y E son, respectivamente, las contradictorias de O e I, difiriendo tanto en cantidad como en cualidad.
Obsérvese que la negación de cualquiera de las cuatro fórmulas analizadas es precisamente su contradictoria. Destaquemos además que toda proposición categórica presenta un término - sujeto y un término - predicado.
Negacion de cuantificadores.
La negación de la Universal Afirmativa es la Particular Negativa y La negación de la Particular Afirmativa es la Universal Negativa.
O sea que la negación de la forma A es la forma O y la negación de la forma I es la forma E.
¬ (∀ x) (P(x) → Q(x)) es equivalente a (∃ x) (P(x) ^ ¬ Q(x))
¬ (∃ x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a (∀ x) (P(x) → ¬Q(x))
De una manera más simple lo que dice la primera fórmula es que la negación de Todos es Alguno No y que la negación de Alguno es Ninguno.
Esto es muy útil en matemáticas y en computación, por ejemplo si queremos demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables son continuas, basta encontrar una que sea
Para profundizar sobre el tema.
O sea que la negación de la forma A es la forma O y la negación de la forma I es la forma E.
¬ (∀ x) (P(x) → Q(x)) es equivalente a (∃ x) (P(x) ^ ¬ Q(x))
¬ (∃ x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a (∀ x) (P(x) → ¬Q(x))
De una manera más simple lo que dice la primera fórmula es que la negación de Todos es Alguno No y que la negación de Alguno es Ninguno.
Esto es muy útil en matemáticas y en computación, por ejemplo si queremos demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables son continuas, basta encontrar una que sea
Para profundizar sobre el tema.
Reglas de cuantificadores.
Introducción del existencial
Si vemos una prueba de su existencia, podemos decir que una propiedad se cumple para algún elemento: 
Lo de es una sustitución (se lee `` sobre '' y consiste en cambiar por ).
Esta regla quiere decir que si vemos , donde es un elemento, podemos decir que , porque sabemos que cuando es sí que se cumple.
Eliminación del existencial
Sacar algo cierto de un 
cuesta, pero se hace así:
sea, que si uno de los implica , entonces sabemos que , porque sabemos que uno de los es cierto. No debe aparecer ninguna en ni en ninguna hipótesis accesible (perdón por las frases crípticas; son parte de la teoría).
Introducción del universal
Ésta es bastante fácil:
O sea, que si A se cumple siempre, se cumple para cualquier valor de . No puede haber ninguna libre en ninguna hipótesis accesible.
Eliminación del universal.
Otra fácil de entender:
Cuantificadores.
Como hemos visto, podemos distinguir en el análisis lógico entre los elementos del universo y sus predicados o atributos. Los elementos son llamados también individuos, o seres, o cosas, y son los que pueden actuar como sujetos lógicos en las proposiciones, representados por sus nombres propios. Así, un individuo será Juan, o Cartago, o esta mesa, aquel libro, o el planeta Marte (pero ¡ojo! "planeta" es un predicado de Marte). Los predicados son, por su parte, las propiedades de los individuos, las cuales pueden ser afirmadas de ellos mediante proposiciones. En cada una de estas proposiciones diremos que tal o cual predicado se predica o no de la cosa en cuestión, es verdadero o no de ella.
Imaginemos ahora que conocemos el número de individuos del universo; y que es, digamos, exactamente tres individuos. Llamemos a esos individuos o, o, y o. En un universo así de pequeño, una proposición universal, por ejemplo "de todo x se dice que x es bueno", se debe entender como la atribución conjunta del predicado a cada uno de los individuos del universo. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición de carácter conjuntivo: " y y ".
De modo semejante, la proposición existencial, por ejemplo "existe al menos un x tal que x es bueno", debe entenderse como la atribución alternativa del predicado a cada uno de los diversos individuos. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición disyuntiva: " o bien o bien ". De manera general y para un universo de n individuos, la proposición universal será equivalente a la conjunción " y ... y ()", y la proposición existencial equivalente a la disyunción " o bien ... o bien ()". Así pues, conociendo el número de individuos de nuestro universo, será siempre posible expresar las proposiciones generales mediante conjunciones o disyunciones. En la práctica, sin embargo, por no conocer ese número o por ser este muy grande, no podremos prescindir de cuantificadores y expresiones cuantificadas. La reducción de las expresiones cuantificadas a expresiones con conectivas tiene pues solamente un valor teórico.
Imaginemos ahora que conocemos el número de individuos del universo; y que es, digamos, exactamente tres individuos. Llamemos a esos individuos o, o, y o. En un universo así de pequeño, una proposición universal, por ejemplo "de todo x se dice que x es bueno", se debe entender como la atribución conjunta del predicado a cada uno de los individuos del universo. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición de carácter conjuntivo: " y y ".
De modo semejante, la proposición existencial, por ejemplo "existe al menos un x tal que x es bueno", debe entenderse como la atribución alternativa del predicado a cada uno de los diversos individuos. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición disyuntiva: " o bien o bien ". De manera general y para un universo de n individuos, la proposición universal será equivalente a la conjunción " y ... y ()", y la proposición existencial equivalente a la disyunción " o bien ... o bien ()". Así pues, conociendo el número de individuos de nuestro universo, será siempre posible expresar las proposiciones generales mediante conjunciones o disyunciones. En la práctica, sin embargo, por no conocer ese número o por ser este muy grande, no podremos prescindir de cuantificadores y expresiones cuantificadas. La reducción de las expresiones cuantificadas a expresiones con conectivas tiene pues solamente un valor teórico.
Proposiciones universales y proposiciones existenciales.
Este segundo procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de generalización, puesto que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico. De las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles. La primera, que llamaremos generalización universal consiste en anteponer a la cuasi-proposición las palabras "de todo x se dice que"; la segunda, que llamaremos generalización existencial consiste en anteponerle las palabras "existe al menos un x tal que". Veamos unos ejemplos.
Si nuestro predicado es "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.
Tratemos ahora de representar gráficamente estas nuevas distinciones y conceptos analíticos. Si la proposición atómica, no analizada lógicamente excepto en cuanto a su valor de verdad, era representada con cualquiera de las letras "", "", "", "", los predicados podemos representarlos con las mismas letras seguidas de un guion (2). Este guión nos indicará que algo se ha quitado de la proposición original, a saber, el nombre propio o sujeto lógico: y lo ponemos todo entre paréntesis como advertencia de que se trata de una sola proposición atómica, no de una proposición molecular: "(-)", "(-)", "(- )", y "(-)".
Si ahora volvemos a poner el nombre propio, pero de modo que se note su presencia, podemos convenir en representarlo mediante una "o" que tiene la ventaja de que no se modifica al reflejarse en el espejo cuando queremos negar la proposición. Como con seguridad querremos hablar de diversos sujetos lógicos, en expresiones del tipo "Juan ama a María", convengamos también que la "o" será el nombre de una persona u objeto distinto dependiendo del color con que aparezca en la pantalla. Así, "Juan es un ser humano" pasaría a ser "(o)", pero "Pedro es un ser humano" se representaría como "(o)", y "Juan ama a María" como "()", donde "A" sería nuestra manera de representar el predicado "... ama ...". La cuasi-proposición, o sea el predicado en cuanto es atribuido a un individuo indefinido, se representará poniendo una "x" a la par de la letra-predicado, o sea, en el lugar del guión. Así, "x es ser un ser humano" se representaría como "()", donde el color podrá permitirnos indicar que la "x" de un color y la "x" de otro color no se refieren necesariamente al mismo individuo. Así, la fórmula "()" dejaría en libertad a quien la lee de completar mentalmente la cuasi-proposición para que quiera decir "Juan ama a María" o "Juan se ama a sí mismo"; pero en cambio, "()" nos obligaría a afirmar que, cualquiera que sea ese x, se amará a sí mismo. Estamos ahora listos para preguntarnos cómo representar las expresiones cuantificadas, v.g., "todo es bueno" o "algo es bueno" o "todo ser humano tiene algún otro ser humano que lo ama", proposición que, además de tener una representación difícil, lamentablemente tal vez no siempre haya sido verdadera. Para poder hacer representaciones como estas, sin embargo, necesitamos todavía alguna elaboración preparatoria.
Si nuestro predicado es "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.
Tratemos ahora de representar gráficamente estas nuevas distinciones y conceptos analíticos. Si la proposición atómica, no analizada lógicamente excepto en cuanto a su valor de verdad, era representada con cualquiera de las letras "", "", "", "", los predicados podemos representarlos con las mismas letras seguidas de un guion (2). Este guión nos indicará que algo se ha quitado de la proposición original, a saber, el nombre propio o sujeto lógico: y lo ponemos todo entre paréntesis como advertencia de que se trata de una sola proposición atómica, no de una proposición molecular: "(-)", "(-)", "(- )", y "(-)".
Si ahora volvemos a poner el nombre propio, pero de modo que se note su presencia, podemos convenir en representarlo mediante una "o" que tiene la ventaja de que no se modifica al reflejarse en el espejo cuando queremos negar la proposición. Como con seguridad querremos hablar de diversos sujetos lógicos, en expresiones del tipo "Juan ama a María", convengamos también que la "o" será el nombre de una persona u objeto distinto dependiendo del color con que aparezca en la pantalla. Así, "Juan es un ser humano" pasaría a ser "(o)", pero "Pedro es un ser humano" se representaría como "(o)", y "Juan ama a María" como "()", donde "A" sería nuestra manera de representar el predicado "... ama ...". La cuasi-proposición, o sea el predicado en cuanto es atribuido a un individuo indefinido, se representará poniendo una "x" a la par de la letra-predicado, o sea, en el lugar del guión. Así, "x es ser un ser humano" se representaría como "()", donde el color podrá permitirnos indicar que la "x" de un color y la "x" de otro color no se refieren necesariamente al mismo individuo. Así, la fórmula "()" dejaría en libertad a quien la lee de completar mentalmente la cuasi-proposición para que quiera decir "Juan ama a María" o "Juan se ama a sí mismo"; pero en cambio, "()" nos obligaría a afirmar que, cualquiera que sea ese x, se amará a sí mismo. Estamos ahora listos para preguntarnos cómo representar las expresiones cuantificadas, v.g., "todo es bueno" o "algo es bueno" o "todo ser humano tiene algún otro ser humano que lo ama", proposición que, además de tener una representación difícil, lamentablemente tal vez no siempre haya sido verdadera. Para poder hacer representaciones como estas, sin embargo, necesitamos todavía alguna elaboración preparatoria.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
