Proposiciones universales y proposiciones existenciales.

Este segundo procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de generalización, puesto que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico. De las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles. La primera, que llamaremos generalización universal consiste en anteponer a la cuasi-proposición las palabras "de todo x se dice que"; la segunda, que llamaremos generalización existencial consiste en anteponerle las palabras "existe al menos un x tal que". Veamos unos ejemplos.

Si nuestro predicado es "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.
Tratemos ahora de representar gráficamente estas nuevas distinciones y conceptos analíticos. Si la proposición atómica, no analizada lógicamente excepto en cuanto a su valor de verdad, era representada con cualquiera de las letras "", "", "", "", los predicados podemos representarlos con las mismas letras seguidas de un guion (2). Este guión nos indicará que algo se ha quitado de la proposición original, a saber, el nombre propio o sujeto lógico: y lo ponemos todo entre paréntesis como advertencia de que se trata de una sola proposición atómica, no de una proposición molecular: "(-)", "(-)", "(- )", y "(-)".

Si ahora volvemos a poner el nombre propio, pero de modo que se note su presencia, podemos convenir en representarlo mediante una "o" que tiene la ventaja de que no se modifica al reflejarse en el espejo cuando queremos negar la proposición. Como con seguridad querremos hablar de diversos sujetos lógicos, en expresiones del tipo "Juan ama a María", convengamos también que la "o" será el nombre de una persona u objeto distinto dependiendo del color con que aparezca en la pantalla. Así, "Juan es un ser humano" pasaría a ser "(o)", pero "Pedro es un ser humano" se representaría como "(o)", y "Juan ama a María" como "()", donde "A" sería nuestra manera de representar el predicado "... ama ...". La cuasi-proposición, o sea el predicado en cuanto es atribuido a un individuo indefinido, se representará poniendo una "x" a la par de la letra-predicado, o sea, en el lugar del guión. Así, "x es ser un ser humano" se representaría como "()", donde el color podrá permitirnos indicar que la "x" de un color y la "x" de otro color no se refieren necesariamente al mismo individuo. Así, la fórmula "()" dejaría en libertad a quien la lee de completar mentalmente la cuasi-proposición para que quiera decir "Juan ama a María" o "Juan se ama a sí mismo"; pero en cambio, "()" nos obligaría a afirmar que, cualquiera que sea ese x, se amará a sí mismo. Estamos ahora listos para preguntarnos cómo representar las expresiones cuantificadas, v.g., "todo es bueno" o "algo es bueno" o "todo ser humano tiene algún otro ser humano que lo ama", proposición que, además de tener una representación difícil, lamentablemente tal vez no siempre haya sido verdadera. Para poder hacer representaciones como estas, sin embargo, necesitamos todavía alguna elaboración preparatoria.