CEPERO RODRIGUEZ RICARDO JAVIER.
ING. COMPUTACION.
MATERIA: LOGICA Y CONJUNTOS.
MAESTRO: ISRAEL FRANCO GARCIA.
TRABAJO FINAL DE LOGICA Y CONJUNTOS.
miércoles, 10 de diciembre de 2008
domingo, 7 de diciembre de 2008
Silogismos.
Designamos bajo el nombre de silogismo categórico, la combinación de tres proposiciones categóricas, dispuestas en dos premisas y una conclusión.
Consideremos el silogismo.
• Todos los cocodrilos son anfibios
• Todos los anfibios son animales que viven en la tierra o en el agua.
• Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua.
Designaciones y convenciones.
• Las proposiciones 1) y 2) se denominan premisas.
• La proposición 3) se denomina conclusión.
• El término - predicado de la conclusión, ?animales que viven en la tierra o en el agua? se denomina el término mayor del silogismo .
• La premisa donde figura el término mayor, se denomina premisa - mayor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 2).
• El término - sujeto de la conclusión, ?cocodrilo?, se denomina término menor del silogismo .
• La premisa donde figura el término menor, se denomina premisa menor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 1).
• El término ?anfibio? que no figura en la conclusión pero que aparece en cada premisa se denomina término medio , pues su función es servir de nexo entre el término mayor y el menor.
La descripción anterior la podemos resumir esquemáticamente así:
Premisa menor. Todo C es A
Premisa mayor. Todo A es T
Conclusión Todo C es T.
Tenemos en consecuencia que T corresponde al término mayor; C corresponde al término menor y A corresponde al término medio. Usualmente se escribe primero la premisa mayor y a continuación la premisa menor, designando esta distribución como la forma estándar del silogismo . Con base en esta forma el ejemplo anterior lo representamos así:
Premisa mayor. Todo A es T
Premisa menor. Todo C es A
Conclusión Todo C es T.
La localización del término medio en las premisas es llamado la figura del silogismo . Puesto que hay dos premisas y dos posibles posiciones en cada premisa.
Consideremos el silogismo.
• Todos los cocodrilos son anfibios
• Todos los anfibios son animales que viven en la tierra o en el agua.
• Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua.
Designaciones y convenciones.
• Las proposiciones 1) y 2) se denominan premisas.
• La proposición 3) se denomina conclusión.
• El término - predicado de la conclusión, ?animales que viven en la tierra o en el agua? se denomina el término mayor del silogismo .
• La premisa donde figura el término mayor, se denomina premisa - mayor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 2).
• El término - sujeto de la conclusión, ?cocodrilo?, se denomina término menor del silogismo .
• La premisa donde figura el término menor, se denomina premisa menor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 1).
• El término ?anfibio? que no figura en la conclusión pero que aparece en cada premisa se denomina término medio , pues su función es servir de nexo entre el término mayor y el menor.
La descripción anterior la podemos resumir esquemáticamente así:
Premisa menor. Todo C es A
Premisa mayor. Todo A es T
Conclusión Todo C es T.
Tenemos en consecuencia que T corresponde al término mayor; C corresponde al término menor y A corresponde al término medio. Usualmente se escribe primero la premisa mayor y a continuación la premisa menor, designando esta distribución como la forma estándar del silogismo . Con base en esta forma el ejemplo anterior lo representamos así:
Premisa mayor. Todo A es T
Premisa menor. Todo C es A
Conclusión Todo C es T.
La localización del término medio en las premisas es llamado la figura del silogismo . Puesto que hay dos premisas y dos posibles posiciones en cada premisa.
Cuadro Tradicional de oposición.
La distinción entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distinción (u oposición) de cualidad , en tanto que la distinción entre universales y existenciales se denomina distinción (u oposición) de cantidad .El diagrama representa la oposición de proposiciones de las cuatro formas. Dos proposiciones que tienen términos idénticos se dice que son opuestas entre sí, si difieren en cantidad, o en calidad, o en cantidad y calidad a la vez.
A y E son contrarias, y las proposiciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en la cualidad. I y O son subcontrarias, son proposiciones existenciales que difieren en cualidad. A y E son, respectivamente, las contradictorias de O e I, difiriendo tanto en cantidad como en cualidad.
Obsérvese que la negación de cualquiera de las cuatro fórmulas analizadas es precisamente su contradictoria. Destaquemos además que toda proposición categórica presenta un término - sujeto y un término - predicado.
Negacion de cuantificadores.
La negación de la Universal Afirmativa es la Particular Negativa y La negación de la Particular Afirmativa es la Universal Negativa.
O sea que la negación de la forma A es la forma O y la negación de la forma I es la forma E.
¬ (∀ x) (P(x) → Q(x)) es equivalente a (∃ x) (P(x) ^ ¬ Q(x))
¬ (∃ x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a (∀ x) (P(x) → ¬Q(x))
De una manera más simple lo que dice la primera fórmula es que la negación de Todos es Alguno No y que la negación de Alguno es Ninguno.
Esto es muy útil en matemáticas y en computación, por ejemplo si queremos demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables son continuas, basta encontrar una que sea
Para profundizar sobre el tema.
O sea que la negación de la forma A es la forma O y la negación de la forma I es la forma E.
¬ (∀ x) (P(x) → Q(x)) es equivalente a (∃ x) (P(x) ^ ¬ Q(x))
¬ (∃ x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a (∀ x) (P(x) → ¬Q(x))
De una manera más simple lo que dice la primera fórmula es que la negación de Todos es Alguno No y que la negación de Alguno es Ninguno.
Esto es muy útil en matemáticas y en computación, por ejemplo si queremos demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables son continuas, basta encontrar una que sea
Para profundizar sobre el tema.
Reglas de cuantificadores.
Introducción del existencial
Si vemos una prueba de su existencia, podemos decir que una propiedad se cumple para algún elemento: 
Lo de es una sustitución (se lee `` sobre '' y consiste en cambiar por ).
Esta regla quiere decir que si vemos , donde es un elemento, podemos decir que , porque sabemos que cuando es sí que se cumple.
Eliminación del existencial
Sacar algo cierto de un 
cuesta, pero se hace así:
sea, que si uno de los implica , entonces sabemos que , porque sabemos que uno de los es cierto. No debe aparecer ninguna en ni en ninguna hipótesis accesible (perdón por las frases crípticas; son parte de la teoría).
Introducción del universal
Ésta es bastante fácil:
O sea, que si A se cumple siempre, se cumple para cualquier valor de . No puede haber ninguna libre en ninguna hipótesis accesible.
Eliminación del universal.
Otra fácil de entender:
Cuantificadores.
Como hemos visto, podemos distinguir en el análisis lógico entre los elementos del universo y sus predicados o atributos. Los elementos son llamados también individuos, o seres, o cosas, y son los que pueden actuar como sujetos lógicos en las proposiciones, representados por sus nombres propios. Así, un individuo será Juan, o Cartago, o esta mesa, aquel libro, o el planeta Marte (pero ¡ojo! "planeta" es un predicado de Marte). Los predicados son, por su parte, las propiedades de los individuos, las cuales pueden ser afirmadas de ellos mediante proposiciones. En cada una de estas proposiciones diremos que tal o cual predicado se predica o no de la cosa en cuestión, es verdadero o no de ella.
Imaginemos ahora que conocemos el número de individuos del universo; y que es, digamos, exactamente tres individuos. Llamemos a esos individuos o, o, y o. En un universo así de pequeño, una proposición universal, por ejemplo "de todo x se dice que x es bueno", se debe entender como la atribución conjunta del predicado a cada uno de los individuos del universo. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición de carácter conjuntivo: " y y ".
De modo semejante, la proposición existencial, por ejemplo "existe al menos un x tal que x es bueno", debe entenderse como la atribución alternativa del predicado a cada uno de los diversos individuos. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición disyuntiva: " o bien o bien ". De manera general y para un universo de n individuos, la proposición universal será equivalente a la conjunción " y ... y ()", y la proposición existencial equivalente a la disyunción " o bien ... o bien ()". Así pues, conociendo el número de individuos de nuestro universo, será siempre posible expresar las proposiciones generales mediante conjunciones o disyunciones. En la práctica, sin embargo, por no conocer ese número o por ser este muy grande, no podremos prescindir de cuantificadores y expresiones cuantificadas. La reducción de las expresiones cuantificadas a expresiones con conectivas tiene pues solamente un valor teórico.
Imaginemos ahora que conocemos el número de individuos del universo; y que es, digamos, exactamente tres individuos. Llamemos a esos individuos o, o, y o. En un universo así de pequeño, una proposición universal, por ejemplo "de todo x se dice que x es bueno", se debe entender como la atribución conjunta del predicado a cada uno de los individuos del universo. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición de carácter conjuntivo: " y y ".
De modo semejante, la proposición existencial, por ejemplo "existe al menos un x tal que x es bueno", debe entenderse como la atribución alternativa del predicado a cada uno de los diversos individuos. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición disyuntiva: " o bien o bien ". De manera general y para un universo de n individuos, la proposición universal será equivalente a la conjunción " y ... y ()", y la proposición existencial equivalente a la disyunción " o bien ... o bien ()". Así pues, conociendo el número de individuos de nuestro universo, será siempre posible expresar las proposiciones generales mediante conjunciones o disyunciones. En la práctica, sin embargo, por no conocer ese número o por ser este muy grande, no podremos prescindir de cuantificadores y expresiones cuantificadas. La reducción de las expresiones cuantificadas a expresiones con conectivas tiene pues solamente un valor teórico.
Proposiciones universales y proposiciones existenciales.
Este segundo procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de generalización, puesto que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico. De las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles. La primera, que llamaremos generalización universal consiste en anteponer a la cuasi-proposición las palabras "de todo x se dice que"; la segunda, que llamaremos generalización existencial consiste en anteponerle las palabras "existe al menos un x tal que". Veamos unos ejemplos.
Si nuestro predicado es "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.
Tratemos ahora de representar gráficamente estas nuevas distinciones y conceptos analíticos. Si la proposición atómica, no analizada lógicamente excepto en cuanto a su valor de verdad, era representada con cualquiera de las letras "", "", "", "", los predicados podemos representarlos con las mismas letras seguidas de un guion (2). Este guión nos indicará que algo se ha quitado de la proposición original, a saber, el nombre propio o sujeto lógico: y lo ponemos todo entre paréntesis como advertencia de que se trata de una sola proposición atómica, no de una proposición molecular: "(-)", "(-)", "(- )", y "(-)".
Si ahora volvemos a poner el nombre propio, pero de modo que se note su presencia, podemos convenir en representarlo mediante una "o" que tiene la ventaja de que no se modifica al reflejarse en el espejo cuando queremos negar la proposición. Como con seguridad querremos hablar de diversos sujetos lógicos, en expresiones del tipo "Juan ama a María", convengamos también que la "o" será el nombre de una persona u objeto distinto dependiendo del color con que aparezca en la pantalla. Así, "Juan es un ser humano" pasaría a ser "(o)", pero "Pedro es un ser humano" se representaría como "(o)", y "Juan ama a María" como "()", donde "A" sería nuestra manera de representar el predicado "... ama ...". La cuasi-proposición, o sea el predicado en cuanto es atribuido a un individuo indefinido, se representará poniendo una "x" a la par de la letra-predicado, o sea, en el lugar del guión. Así, "x es ser un ser humano" se representaría como "()", donde el color podrá permitirnos indicar que la "x" de un color y la "x" de otro color no se refieren necesariamente al mismo individuo. Así, la fórmula "()" dejaría en libertad a quien la lee de completar mentalmente la cuasi-proposición para que quiera decir "Juan ama a María" o "Juan se ama a sí mismo"; pero en cambio, "()" nos obligaría a afirmar que, cualquiera que sea ese x, se amará a sí mismo. Estamos ahora listos para preguntarnos cómo representar las expresiones cuantificadas, v.g., "todo es bueno" o "algo es bueno" o "todo ser humano tiene algún otro ser humano que lo ama", proposición que, además de tener una representación difícil, lamentablemente tal vez no siempre haya sido verdadera. Para poder hacer representaciones como estas, sin embargo, necesitamos todavía alguna elaboración preparatoria.
Si nuestro predicado es "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.
Tratemos ahora de representar gráficamente estas nuevas distinciones y conceptos analíticos. Si la proposición atómica, no analizada lógicamente excepto en cuanto a su valor de verdad, era representada con cualquiera de las letras "", "", "", "", los predicados podemos representarlos con las mismas letras seguidas de un guion (2). Este guión nos indicará que algo se ha quitado de la proposición original, a saber, el nombre propio o sujeto lógico: y lo ponemos todo entre paréntesis como advertencia de que se trata de una sola proposición atómica, no de una proposición molecular: "(-)", "(-)", "(- )", y "(-)".
Si ahora volvemos a poner el nombre propio, pero de modo que se note su presencia, podemos convenir en representarlo mediante una "o" que tiene la ventaja de que no se modifica al reflejarse en el espejo cuando queremos negar la proposición. Como con seguridad querremos hablar de diversos sujetos lógicos, en expresiones del tipo "Juan ama a María", convengamos también que la "o" será el nombre de una persona u objeto distinto dependiendo del color con que aparezca en la pantalla. Así, "Juan es un ser humano" pasaría a ser "(o)", pero "Pedro es un ser humano" se representaría como "(o)", y "Juan ama a María" como "()", donde "A" sería nuestra manera de representar el predicado "... ama ...". La cuasi-proposición, o sea el predicado en cuanto es atribuido a un individuo indefinido, se representará poniendo una "x" a la par de la letra-predicado, o sea, en el lugar del guión. Así, "x es ser un ser humano" se representaría como "()", donde el color podrá permitirnos indicar que la "x" de un color y la "x" de otro color no se refieren necesariamente al mismo individuo. Así, la fórmula "()" dejaría en libertad a quien la lee de completar mentalmente la cuasi-proposición para que quiera decir "Juan ama a María" o "Juan se ama a sí mismo"; pero en cambio, "()" nos obligaría a afirmar que, cualquiera que sea ese x, se amará a sí mismo. Estamos ahora listos para preguntarnos cómo representar las expresiones cuantificadas, v.g., "todo es bueno" o "algo es bueno" o "todo ser humano tiene algún otro ser humano que lo ama", proposición que, además de tener una representación difícil, lamentablemente tal vez no siempre haya sido verdadera. Para poder hacer representaciones como estas, sin embargo, necesitamos todavía alguna elaboración preparatoria.
Proposiciones singulares y proposiciones generales
La frase "... es un ser humano" no es una proposición, pues no podemos decir que sea verdadera o falsa. Puede sin embargo ser convertida en una proposición si en el lugar vacío –los puntos suspensivos– ponemos un nombre propio. Llamaremos a este procedimiento ejemplificación, pues "Juan es un ser humano" puede considerarse un ejemplo de "... es un ser humano". Su resultado es una proposición singular por la que determinado predicado es atribuido a un individuo concreto. Tal procedimiento sirve para convertir un predicado en una proposición; pero no es el único medio de lograr esto. Como a veces nos gusta hablar en forma poco definida, podríamos convertir "... es un ser humano" en "x es un ser humano", donde "x" ocupa el lugar de un nombre propio. Diremos que "x es un ser humano" es casi una proposición, porque hemos llenado el lugar vacío; pero el "nombre propio" que hemos usado es enigmático y no podemos saber todavía si la expresión es verdadera o es falsa. Todavía no es una proposición propiamente dicha. La llamaremos cuasi-proposición.
La cuasi-proposición se convierte en proposición tan pronto como decimos a cuántos de los individuos que integran el universo (o nuestra base de datos) es aplicable. A esto llamamos cuantificar la cuasi-proposición. Su resultado sí es una proposición; es una proposición general o proposición cuantificada. Podemos por ejemplo decir que la cuasi-proposición se aplica exacta y solamente a un individuo. Nuestra cuasi-proposición se convertiría entonces en lo siguiente: "de exacta y solamente un x digo que es un ser humano", donde el nombre propio indefinido "x" representaría a un elemento cualquiera, no sabemos cual, del universo. O podríamos decir "de todo x digo que x es un ser humano", lo que sería falso. Son distintas maneras de cuantificar la cuasi-proposición de nuestro ejemplo. Falsa o verdadera, nuestra expresión sería ya una proposición, y no una cuasi-proposición, puesto que ahora sí podemos decir cuál es su valor lógico, estamos en presencia de un pensamiento lógicamente completo.
La cuasi-proposición se convierte en proposición tan pronto como decimos a cuántos de los individuos que integran el universo (o nuestra base de datos) es aplicable. A esto llamamos cuantificar la cuasi-proposición. Su resultado sí es una proposición; es una proposición general o proposición cuantificada. Podemos por ejemplo decir que la cuasi-proposición se aplica exacta y solamente a un individuo. Nuestra cuasi-proposición se convertiría entonces en lo siguiente: "de exacta y solamente un x digo que es un ser humano", donde el nombre propio indefinido "x" representaría a un elemento cualquiera, no sabemos cual, del universo. O podríamos decir "de todo x digo que x es un ser humano", lo que sería falso. Son distintas maneras de cuantificar la cuasi-proposición de nuestro ejemplo. Falsa o verdadera, nuestra expresión sería ya una proposición, y no una cuasi-proposición, puesto que ahora sí podemos decir cuál es su valor lógico, estamos en presencia de un pensamiento lógicamente completo.
PRUEBA FORMAL DE INVALIDEZ.
Se trata de una demostración indirecta por reducción al absurdo. Si la conclusión tiene valor 0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, el razonamiento es inválido.
LEYES DE EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN.
Entre las leyes de equivalencia que se satisfacen en lógica las siguientes son algunas de las más útiles en las deducciones que aparecerán más adelante. Las presentamos con su nombre más habitual para referirnos a ellas cuando las utilicemos.
Ley del medio excluido p ∨ ¬p
Ley de no contradicción ¬(p ^ ¬p)
Modus ponendo ponens ((p → q)^p) → q
Modus tollendo tollens ((p → q)^ ¬ q) → ¬ p
Silogismo Disyuntivo ((p ∨ q)^ ¬p) → q
La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente hacer la tabla de verdad y se obtendrá la columna correspondiente a la fórmula con valores de verdaderos únicamente.
Equivalencias
Doble negación ¬(¬p) ↔ p
Implicación y disyunción p → q ≡ ¬p ∨ q
Contrapositiva p → q ≡ ¬q → ¬p
Negación de la Implicación ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q
Leyes de De Morgan ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ^ ¬q ¬(p ^q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Ley del medio excluido p ∨ ¬p
Ley de no contradicción ¬(p ^ ¬p)
Modus ponendo ponens ((p → q)^p) → q
Modus tollendo tollens ((p → q)^ ¬ q) → ¬ p
Silogismo Disyuntivo ((p ∨ q)^ ¬p) → q
La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente hacer la tabla de verdad y se obtendrá la columna correspondiente a la fórmula con valores de verdaderos únicamente.
Equivalencias
Doble negación ¬(¬p) ↔ p
Implicación y disyunción p → q ≡ ¬p ∨ q
Contrapositiva p → q ≡ ¬q → ¬p
Negación de la Implicación ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q
Leyes de De Morgan ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ^ ¬q ¬(p ^q) ≡ ¬p ∨ ¬q
RAZONAMIENTO Y VALIDEZ.
El objetivo fundamental de esta sección es ver si determinados razonamientos son verdaderos o falsos.
Por razonamiento se debe entender la afirmación de que determinada proposición (la conclusión) sea consecuencia de las otras proposiciones (las premisas). Un razonamiento es válido si, y solamente sí, la conjunción de las premisas implica la conclusión, es decir, cuando las premisas son todas verdaderas, la conclusión es verdadera.
Una observación muy importante que hay que resaltar, es que la verdad de la conclusión es independiente de la manera de demostrar la validez de un razonamiento. Una conclusión verdadera no es condición necesaria ni suficiente para la validez de un razonamiento.
Por razonamiento se debe entender la afirmación de que determinada proposición (la conclusión) sea consecuencia de las otras proposiciones (las premisas). Un razonamiento es válido si, y solamente sí, la conjunción de las premisas implica la conclusión, es decir, cuando las premisas son todas verdaderas, la conclusión es verdadera.
Una observación muy importante que hay que resaltar, es que la verdad de la conclusión es independiente de la manera de demostrar la validez de un razonamiento. Una conclusión verdadera no es condición necesaria ni suficiente para la validez de un razonamiento.
CONCEPTO DE CONTRADICCION
La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la formen. Ejemplo:
CONCEPTO DE TAUTOLOGIA.
Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:
TABLAS DE VERDAD
Como se mecionó en la sección anterior para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
Negación.
Conjunción:
Disyunción Inclusiva:
Disyunción Exclusiva:
Condicional o Implicación:
Bicondicional o Doble Implicación:
VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la Vega”.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa.
CONCEPTO DE PROPOSICIONES Y CLASIFICACION DE PROPOSICIONES.
CONCEPTO DE PROPOSICIONES
Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.
Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES
Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos.
CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.
La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo: “ð”.
La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.
La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.
La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras”Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.
La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así:”ð”
ENUNCIADOS ABIEROS Y ENUNCIADOS CERRADOS.
Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en formal oral o escrita. Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”.
Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”.
Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”.
**UNIDAD II**
LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.
Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F).
Por ejemplo:
Hoy es Viernes
Ayer llovió
Hace frío
Ayer llovió
Hace frío
La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sería:
hoy es Viernes
ayer llovió
hace frío
ayer llovió
hace frío
La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:
hoy es Viernes
y hace frío.
A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula bien formada (well-formedformula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógicos involucrados.
DIAGRAMA DE VENN.
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:A' = { x/x U y x A }
Ejemplos:
a)
Sean U = { m, a, r, t, e }
y
A = { t, e }
Su complemento de A es:
A' = { m, a, r }
b)
Sean U = { letras de la palabra aritmética}
y
B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c }
B = { i, a }
Su complemento de B es:
B' = { r, t, m, e, c }
Ejemplos:
a)
Sean U = { m, a, r, t, e }
y
A = { t, e }
Su complemento de A es:
A' = { m, a, r }
b)
Sean U = { letras de la palabra aritmética}
y
B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c }
B = { i, a }
Su complemento de B es:
B' = { r, t, m, e, c }
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:A - B = {x / x A y x B}
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar la diferencia respectiva:
a)
A - C
b)
B - C
c)
A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g } A - C = { a, b, c, e }
b) B = { a, e } y C = { d, f, g } B - C = { a, e }
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e } A - B = { b, c, d }
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar la diferencia respectiva:
a)
A - C
b)
B - C
c)
A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g } A - C = { a, b, c, e }
b) B = { a, e } y C = { d, f, g } B - C = { a, e }
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e } A - B = { b, c, d }
PROCUCTO CRUZ
PRODUCTO CARTESIANO
A= {A,B,C}
B= {B,C,A}
A=B
A1={A,B} A2={B,C} A3={A,C}
A4= {A1,A2,A3} ={(A,B),(B,C), (A,C)}
PARES ORDENADOS.
ALFABETOS
Es un conjunto y no vacío de símbolos. Es una colección de símbolos.
Ejemplo:
å = {a…….z,A………Z,0,…….9}
0 є å EL ELEMENTO NULO (0) PERTENECE AL ALFABETO å.
W= {PARANGARICUTIRIMICUARO}
å ={A,……..Z}
å1= {A,P,R,N,G,C,U,T,I,M,O}
A= {A,B,C}
B= {B,C,A}
A=B
A1={A,B} A2={B,C} A3={A,C}
A4= {A1,A2,A3} ={(A,B),(B,C), (A,C)}
PARES ORDENADOS.
ALFABETOS
Es un conjunto y no vacío de símbolos. Es una colección de símbolos.
Ejemplo:
å = {a…….z,A………Z,0,…….9}
0 є å EL ELEMENTO NULO (0) PERTENECE AL ALFABETO å.
W= {PARANGARICUTIRIMICUARO}
å ={A,……..Z}
å1= {A,P,R,N,G,C,U,T,I,M,O}
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A O B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A O B = { x / x A ^ x B }
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar la intersección solicitada:
a)
A O C
b)
B O C
c)
A O B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } A O C = {2, 4}
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 } B O C = { } o Ø
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 } A O B = {3, 5}
A O B = { x / x A ^ x B }
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar la intersección solicitada:
a)
A O C
b)
B O C
c)
A O B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } A O C = {2, 4}
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 } B O C = { } o Ø
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 } A O B = {3, 5}
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
Union de conjuntos.
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:A U B = {x / x A v x B}
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar la unión solicitada:
a) A U C
b) B U C
c)A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 8 }
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 } A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:A U B = {x / x A v x B}
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar la unión solicitada:
a) A U C
b) B U C
c)A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 8 }
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 } A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
Ejemplos:
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Ejemplos:
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
CONJUNTOS FORMADOS POR CONJUNTOS.
Dos conjuntos son iguales si están formados por los mismos elementos.
Se dice que B es subconjunto de A, y se representa B Ì A, si todos los elementos de B pertenecen a A. Se dice también que B está incluido en A.
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se representa A È B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
Ejemplo 1: A={a, b, c, d} B={c, d, e, h}
A È B = {a, b, c, d, e, h}
Ejemplo 2: C={personas obesas} D={personas hipertensas}
C È D = {personas obesas o hipertensas}
Se dice que B es subconjunto de A, y se representa B Ì A, si todos los elementos de B pertenecen a A. Se dice también que B está incluido en A.
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se representa A È B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
Ejemplo 1: A={a, b, c, d} B={c, d, e, h}
A È B = {a, b, c, d, e, h}
Ejemplo 2: C={personas obesas} D={personas hipertensas}
C È D = {personas obesas o hipertensas}
martes, 2 de diciembre de 2008
Cardinalidad de conjuntos.
UNIDAD I
CARDINALIDA DE CONJUNTOS.
La cardinalidad de un conjunto se define como la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto y se denota por n(X).
En el caso de nuestro ejemplo (el conjunto P), su cardinalidad es: n(P) = 9, pues el número de planetas que tiene el sistema solar es nueve.
Los siguientes conjuntos se definen en función de su cardinalidad:
Conjuntos Finitos e Infinitos
Se les llama conjuntos finitos aquellos conjuntos cuyos elementos se pueden contar, no importando la dificultad que ello represente; por ejemplo:
A = {letras vocales} (sus elementos se pueden contar fácilmente, son 5)
B = {meses del año} (sus elementos se pueden contar fácilmente, son 12)
C = {xÎN 5 <> ( sus elentos son 20)
CONJUNTO VACIO.
Se define como conjunto vacío, al conjunto que no tiene elementos, y se le denota como Æ
Para comprender mejor el concepto de conjunto vacío, analicemos el siguiente ejemplo:
Si definimos al conjunto M de la siguiente manera; M = {los mexicanos menores de 18 años con credencial de elector}, es claro que, debido a las leyes mexicanas al respecto, este conjunto no tiene ningún elemento, por tanto es igual un conjunto vacío. Æ
En las proposiciones abiertas (con variables) en donde las variables pertenecen a algún conjunto de números en particular (Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales o Complejos), se acostumbra escribir a qué conjunto de números pertenece la variable, por ejemplo:
K={xÎ N x + 4 = 3}
CONJUNTO UNIVERSAL.
Es el conjunto que contiene a la totalidad de los elementos que intervienen en una discusión o situación particular. Por ejemplo, en el caso de nuestro ejemplo, P = {planetas del sistema solar}, el conjunto universal es U = {x x es un cuerpo celeste}.
Para comprender mejor este concepto, analiza los siguientes ejemplos:
En zoología, podemos contemplar al conjunto universal como el conjunto de todos los animales, a partir de ahí, podemos seleccionar algún subconjunto que nos interese, por ejemplo, los mamíferos, las aves, los peces, los reptiles y los anfibios.
En aritmética, podemos considerar al conjunto universal, como el conjunto de todos los números reales, y de ahí, podemos estudiar subconjuntos tales como, los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales.
SUBCONJUNTOS,COMPARABILIDAD E IGUALDAD.
Igualdad de conjuntos
Finalmente, existe lo que se llama igualdad de conjuntos; se dice que dos conjuntos A y B son iguales, si los elementos contenidos en A pertencen a B, y si cada elemento de B también pertence a A.
Ejemplos de la igualdad:A = {1,2,3,4}B = {3,4,2,1}C = {x x es una vocal de la palabra mundo}D = {o,u}
Entonces, la notación es:A = B ; C = D.
Conjuntos por Extension y Comprensión.
UNIDAD I
CONJUNTOS Y SUB-CONJUNTO.
¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo.
Los objetos de un conjunto son llamados elementos o miembros del conjunto.
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc.
Un conjunto no posee elementos repetidos.
Se denomina conjunto a una colección de todos los objetos posibles que satisfacen ciertas propiedades específicas; cada uno de dichos elementos es considerado un elemento del conjunto.Un conjunto puede dividirse empleando dos criterios distintos, que originan, respectivamente, la definición por extensión y la definición por comprensión. Un conjunto queda definido por extensión cuando se menciona cada uno de los elementos del conjunto. La definición por comprensión exige mencionar ciertas propiedades que deben cumplir todos los elementos del conjunto y solamente ellos.Un conjunto A está determinado cuando, dado un elemento cualquiera a, es posible decidir si pertenece o no al conjunto. Es decir, trabajaremos con conjuntos perfectamente determinados, donde no quepa la ambigüedad. Dado un elemento a, debe haber un criterio que permita decidir, de manera única, si a pertenece o no al conjunto. Es decir, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos reunidos a partir de un criterio claramente determinado.Si a es un elemento del conjunto A, se dice que a pertenece a A y se nota por Si, por el contrario, el elemento a no pertenece al conjunto A, se escribe Todo conjunto es una colección de objeto pero no toda colección de objeto es un conjunto. Es decir, todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.Como un conjunto está determinado con sólo saber cuáles son los elementos que lo integran, está implícito que: 1) no admitiremos elementos “repetidos”; dado un elemento cualquiera, sólo hay dos posibilidades: pertenece o no pertenece al conjunto. 2) el orden no interviene.Escribimos en este caso A=B , para expresar que dos conjuntos son iguales, es decir, que son el mismo conjunto con el mismo nombre.Para probar que dos conjuntos A y B son iguales, debe verificarse que todo elemento de A pertenece a B y que todo elemento de B pertenece a A.Para probar que son distintos alcanza con encontrar un elemento de uno que no pertenezca al otro. Entonces, dados dos conjuntos, A y B, decimos que A = B, es decir, que A es igual a B si se cumplen dos cosas:1) Todo elemento de A pertenece al conjunto B (A está incluído en B) y2) Todo elemento de B pertenece al conjunto A (B está incluído en A).
CONJUNTO POR EXTENSIÓN.
Por Extensión: Enumera todos los elementos que contiene un conjunto.A={à, e, i, o, u}
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, , , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
CONJUNTO FINITO E INFINITO.
Conjunto finito: Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
= { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
**UNIDAD I**
CONJUNTOS Y SUB CONJUNTOS
-Conjuntos por extensión y comprensión.
- Conjuntofinito e Infinito.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
